¿Qué es determinante de una matriz?

Antes de poder entender qué es una determinante, necesitamos comprender la matriz en la que se origina.

Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas.

En el campo empresarial y contable, las matrices son herramientas indispensables para organizar datos y resolver sistemas de ecuaciones, por ejemplo, en la contabilización de costos y en el análisis de riesgos financieros.

Definición de determinante

El determinante es un número especial que se obtiene a partir de los elementos de una matriz cuadrada, es decir, una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Este valor revela propiedades muy importantes de la matriz, tales como si es invertible o no, así como también está relacionado con el volumen en determinadas transformaciones geométricas.

En términos empresariales, nos puede ayudar a entender la estabilidad de un sistema económico o la viabilidad de distintas opciones de inversión.

Cálculo de la determinante

El cálculo del determinante varía en complejidad dependiendo del tamaño de la matriz.

Para una matriz de 2×2, es relativamente sencillo. Se multiplica el elemento de arriba a la izquierda por el de abajo a la derecha y se resta el producto del elemento de arriba a la derecha por el de abajo a la izquierda.

Sin embargo, para matrices de mayor tamaño, se requiere de un proceso más elaborado llamado desarrollo por cofactores, donde el determinante se calcula como la suma y resta de los determinantes de las submatrices, multiplicada cada una por su cofactor correspondiente.

Reglas y propiedades del determinante

Las propiedades fundamentales de los determinantes facilitan su cálculo y comprensión:

• El determinante de la matriz identidad es siempre 1, independientemente de su tamaño.
• Si se intercambian dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
• El determinante de una matriz triangular (todos los elementos debajo o encima de la diagonal principal son cero) es el producto de los elementos de su diagonal.
• Si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su determinante es cero.
• El determinante de una matriz invertible multiplicado por el determinante de su inversa da como resultado 1.

Aplicaciones del determinante

En economía y contabilidad, los determinantes se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, lo que es crucial para el análisis de puntos de equilibrio en costos y la optimización de recursos.

Además, el concepto de determinante es esencial en análisis multivariable, como en modelos econométricos que ayudan a predecir comportamientos financieros y económicos.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Imagine que tenemos una matriz de 2×2 que representa dos ecuaciones con dos incógnitas en el contexto de la contabilidad de costes:

[left[begin{array}{cc}
3 & 4 \
2 & 1 \
end{array}right]]

El determinante de esta matriz se calcularía así:

[det(A) = (3 times 1) – (4 times 2) = 3 – 8 = -5]

Un determinante no nulo, como en este caso, nos indica que el sistema tiene una solución única, facilitando el cálculo de las incógnitas.

Ejemplo 2: Consideremos una empresa que quiere evaluar la inversión en dos proyectos dependientes entre sí. Representamos esta situación con una matriz de 3×3, donde los elementos de la matriz reflejan la relación entre los costos y beneficios de los proyectos:

[left[begin{array}{ccc}
1 & 4 & 7 \
2 & 5 & 8 \
3 & 6 & 9 \
end{array}right]

Calculamos el determinante y obtenemos 0, lo que indica que los proyectos están tan correlacionados que no es posible una evaluación independiente de cada uno de ellos. En tal caso, la inversión debe ser evaluada de manera conjunta o diversificada.